Tutorial sobre el coeficiente de correlación lineal de Pearson en Internet

Palmer, A. , Jiménez, R. y Montaño, J.J.
Area de Metodología de las Ciencias del Comportamiento.
Facultad de Psicología.
Universitat de les Illes Balears.
e-Mail: alfonso.palmer@uib.es

Índice

1.- Introducción
2.- Coeficiente de correlación de Pearson
    2.1.- Estudio gráfico de la relación
          2.1.1.- Independencia absoluta
          2.1.2.- Relación lineal directa
          2.1.3.- Relación lineal inversa
          2.1.4.- Relación no lineal
          2.1.5.- Puntos influyentes
    2.2.- Prueba de hipótesis de un coeficiente de correlación
           2.2.1.- Importancia estadística e importancia práctica. Dependencia del tamaño muestral
    2.3.- Otras pruebas de hipótesis para coeficientes de correlación
    2.4.- Aplicaciones en Internet relacionadas con pruebas de conformidad de un coeficiente de correlación
3.- Derivados del coeficiente de correlación de Pearson
    3.1.- Correlación parcial
    3.2.- Correlación semiparcial
    3.3.- Correlación múltiple
    3.4.- Relación entre correlación parcial y correlación múltiple
    3.5.- Relación entre correlación semiparcial y correlación múltiple
    3.6.- Correlación múltiple parcial
    3.7.- Correlación múltiple semiparcial 
4.- Aplicación en la red que integra la mayoría de cálculos relacionados con correlaciones de Pearson
     4.1.- Significación de un coeficiente de correlación
     4.2.- Significación de la diferencia entre dos correlaciones
     4.3.- Potencia de una correlación
     4.4.- Tamaño de muestra de una correlación
     4.5.- Correlaciones parciales y correlaciones múltiples
5.- Coeficiente de correlación ordinal de Spearman
     5.1- Una visión general del coeficiente de correlación de Spearman
     5.2.- Intervalo de confianza para r_s
     5.3.- Prueba de conformidad de r _s

1.- Introducción

Una situación bastante habitual en una investigación consiste en analizar la asociación existente entre dos variables continuas. El objetivo de este tutorial es proporcionar direcciones de Internet que permiten al usuario obtener diferentes informaciones acerca del coeficiente de correlación lineal de Pearson.

A efectos de que la información proporcionada no quede exclusivamente circunscrita al cálculo numérico se intenta proporcionar una cierta base teórica así como la interpretación de dicho coeficiente y aquellos factores que influencian su valor.

Junto al clásico coeficiente de correlación lineal se presentan los coeficientes de correlación parcial, semiparcial y múltiple que amplían la asociación entre dos variables, teniendo en cuenta básicamente una tercera variable en el caso parcial y semiparcial, y cualquier número de variables en la múltiple.

Por último se presenta el coeficiente de correlación ordinal de Spearman que no es más que un coeficiente de correlación de Pearson aplicado a rangos.

2.- Coeficiente de correlación de Pearson

Un índice que mide relación entre dos variables cuantitativas es la covariancia. Pero este índice tiene el inconveniente de que su valor depende de las unidades de medida de las dos variables, de manera que cuando una de ellas varía en su escala de medida esto origina un cambio en el valor de la covariancia.

Fue Karl Pearson quien propuso un índice que era independiente de la escala de medida de ambas variables: el coeficiente de correlación lineal, cuyo cálculo se realiza dividiendo la covariancia por el producto de las desviaciones estándar de ambas variables:

La característica fundamental de este índice es que mide la existencia de una relación lineal entre dos variables.

El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1 , +1].

Un coeficiente de correlación igual a cero indica una independencia total entre las dos variables, de manera que cuando una de ellas varía esto no influye en absoluto en el valor que pueda tomar la segunda variable.

Un coeficiente de correlación igual a -1 indica una dependencia total entre las dos variables, denominada relación inversa, de manera que cuando una de ellas aumenta la otra disminuye.

Un coeficiente de correlación igual a +1 indica una dependencia total entre las dos variables, denominada relación directa, de manera que cuando una de ellas aumenta la otra también aumenta.

La fórmula práctica de cálculo de un coeficiente de correlación entre dos variables X e Y viene dada por:

El cálculo del coeficiente de correlación debería realizarse con muestras grandes. Si se calcula r con n£ 20, la estimación del parámetro r puede estar sesgada. En este caso, un estimador menos sesgado (Olkin y Pratt, 1958, citado por Wilcox, 1987) viene dado por:

En la red hemos encontrado varias páginas que permiten realizar cálculos y operaciones relacionadas con el coeficiente de correlación. A continuación presentamos algunas de ellas, a nuestro juicio las más interesantes y atractivas.

Coeficiente de correlación de Pearson. Jan de Leeuw. UCLA Statistics. Obtiene el coeficiente de correlación, la covariancia, así como la media y la variancia para cada variable. Incluye un gráfico de relación.

Ejemplo: Se introducen los datos para dos variables, una en cada 'caja' de las dos que se disponen en la página, y se hace clic en el botón «Submit».

El applet calcula el coeficiente de correlación de Pearson (campo Correlation), y además proporciona la media y variancia de cada variable, así como su covariancia. Hay que recordar que el índice de correlación de Pearson se mueve siempre entre -1 y +1, mientras que la covariancia depende de las unidades en las que las variables estén medidas.

Vemos como la correlación entre estas dos variables es muy baja, concretamente r_xy=0.122513.

Un aspecto interesante es que también proporciona un gráfico de relación (scatterplot), situando en el eje de abscisas los valores de la variable introducida en la 'caja' izquierda y en el eje de ordenadas los valores de la otra variable.

A nivel gráfico se puede observar que no existe una relación lineal entre las variables (ver Estudio gráfico de la relación)

2.1.- Estudio gráfico de la relación

La mejor forma de observar la linealidad o no de la relación entre dos variables, así como la intensidad de esta relación, es por medio del gráfico de dispersión de la nube de puntos. Así pues, la relación perfecta entre dos variables viene determinada por una recta como figura geométrica mientras que la independencia total viene determinada por una circunferencia. Entre estos dos extremos tenemos todas las posibles relaciones que vienen determinadas por la elipse como figura geométrica de la relación. Cuanto menor sea la amplitud del eje secundario de la elipse, mayor será la relación lineal. El gráfico de la nube de puntos permite observar asimismo la posible existencia de valores alejados que pueden ser determinantes en el valor del coeficiente de correlación. A continuación vamos a ver, gráficamente, diversas situaciones.

2.1.1.- Independencia absoluta

Sean los cuatro puntos determinados por los valores de la tabla siguiente, y situados gráficamente:

La correlación entre estos cuatro puntos vale r=0. Gráficamente se comprueba que estos puntos se sitúan sobre una circunferencia con centro en el punto (2.5,2.5). Por otro lado, se puede observar cómo la recta de regresión lineal de estos cuatro puntos presenta pendiente nula. Así pues no hay una dirección lineal privilegiada, por lo que hay una ausencia total de relación lineal.

2.1.2.- Relación lineal directa

Sean los siguientes cuatro puntos y su correspondiente representación gráfica:

A partir del gráfico se puede comprobar que los cuatro puntos se sitúan sobre una recta de pendiente igual a 1. Si calculamos el coeficiente de correlación entre estos cuatro puntos obtendremos que r=1. Este valor significa que la relación lineal entre los puntos es máxima y que la relación es una relación directa, lo que significa que a medida que los valores de una variable aumentan, los valores de la otra variable también aumentan. En este caso el coeficiente de determinación vale r²=1, lo que significa que el porcentaje de variancia de una variable explicada por la otra es total. Así pues, si conocemos el valor de una variable podemos predecir exactamente qué valor tendrá la otra variable.

2.1.3.- Relación lineal inversa

Sean los siguientes cuatro puntos y su correspondiente representación gráfica:

A partir del gráfico se puede comprobar que los cuatro puntos se sitúan sobre una recta de pendiente igual a -1. Si calculamos el coeficiente de correlación entre estos cuatro puntos obtendremos que r=-1. Este valor significa que la relación lineal entre los puntos es máxima y que la relación es una relación inversa, lo que significa que a medida que los valores de una variable aumentan, los valores de la otra variable disminuyen. En este caso el coeficiente de determinación vale r²=1, lo que significa que el porcentaje de variancia de una variable explicada por la otra es total. Así pues, si conocemos el valor de una variable podemos predecir exactamente qué valor tendrá la otra variable.

2.1.4.- Relación no lineal

Sean los siguientes seis puntos y su correspondiente representación gráfica:

Si buscamos la correlación entre estos seis puntos se obtiene que r=0, es decir ausencia total de relación. Sin embargo, del gráfico se desprende que estos seis puntos están relacionados, lo que ocurre es que la relación entre ellos no es lineal. Así pues, no hay que olvidar que el coeficiente de correlación de Pearson mide relación lineal, y que un valor r=0 no significa que los puntos no estén relacionados, sino que significa que no están relacionados linealmente, pero pueden tener otro tipo de relación.

Una representación gráfica nos puede permitir visualizar que en el caso estudiado, si bien la correlación global es cero, existen dos zonas en las que las variables están correlacionadas. Así, si tomamos únicamente los tres primeros puntos obtenemos que presentan una r=-1, mientras que los últimos tres puntos presentan una r=1. Es decir, hasta un cierto valor de X la relación es inversa y perfecta, y a partir de este valor la relación es directa y perfecta.

2.1.5.- Puntos influyentes

Sean los siguientes cinco puntos y su correspondiente representación gráfica:

La correlación existente entre estos cinco puntos es r=0.52128, con un coeficiente de determinación de valor r²=0.27173. Así pues, hay una relación directa. Sin embargo si eliminamos la quinta observación hallamos que la correlación entre los cuatro primeros puntos es r=0, es decir ausencia total de correlación. Esto significa que la correlación obtenida es debida fundamentalmente a la quinta observación. Cuando un punto determina mayoritariamente el valor de un coeficiente de correlación se le denomina punto influyente. Podemos ver que, en nuestro caso, el quinto valor (6,6) es un punto influyente, ya que hace pasar de un valor r=0 a un valor r=0.52.

Es muy importante la determinación de la existencia de puntos influyentes en una relación ya que éstos pueden enmascarar la verdadera relación existente y proporcionar valores erróneos en el coeficiente de correlación.

Sean los siguientes cinco puntos y su correspondiente representación gráfica:

En este caso el cálculo del coeficiente de correlación entre las dos variables tiene por valor r=0.88916, con un coeficiente de determinación de valor r²=0.79. Esto significa que hay una alta relación lineal para el conjunto de los datos. Sin embargo, si eliminamos la quinta observación y calculamos la correlación entre los cuatro primeros datos se obtiene que r=0, es decir ausencia total de correlación. Esto significa que la relación obtenida queda determinada fundamentalmente por la inclusión de la quinta observación (12,12), lo que determina que ésta constituye un punto influyente. La influencia de este punto (12,12) es mayor que la influencia del punto (6,6) obtenida en el caso anterior (la recta de regresión lineal asociada a este segundo ejemplo tiene una mayor pendiente que en el primero).

Una dirección interesante e ilustrativa en relación con el análisis gráfico de la relación es la siguiente: Aplicación interactiva sobre el coeficiente de correlación. University of Illinois at Urbana-Champaign. Department of Statistics. La aplicación presenta cuatro gráficos de puntos, y cuatro coeficientes de correlación; y el usuario debe asignar cada coeficiente a su gráfico respectivo.

En primer lugar, cuando accedemos al applet se debe pulsar el botón «New Plots» para que aparezcan los cuatro gráficos de puntos y los cuatro coeficientes de correlación. Una vez han sido asignados los gráficos a los valores mostrados, se debe pulsar el botón «Answers» para conocer los resultados correctos (sombreados en color rosa). Para volver a 'jugar' es necesario volver a pulsar la opción «New Plots» (que se irá alternando con la opción «Answers»). En la parte derecha del pie de la aplicación se informa de las respuestas correctas conseguidas hasta el momento. Incluso, en el marco inferior de la página aparece un ranking con las mejores 20 puntuaciones conseguidas por los usuarios de red que 'jugaron' con dicha aplicación.

2.2.- Prueba de hipótesis de un coeficiente de correlación

La prueba de hipótesis que permite estudiar la significación de una correlación entre dos variables viene dada por una prueba de conformidad respecto al modelo de independencia que establece que la correlación entre las dos variables será cero en la población origen. Las hipótesis estadísticas de esta prueba de conformidad vienen dadas por:

H_o: r = 0
H₁: r ¹ 0

La significación del coeficiente de correlación se estudia por medio de la distribución t de Student. Para ello se obtiene el valor de:

que se sitúa bajo la distribución t(n-2,a ).

Ejemplo

Sean, a efectos didácticos, las siguientes seis observaciones obtenidas en dos variables X e Y. Para obtener el coeficiente de Pearson se necesitan cinco cantidades: SX , SY , SX² , SY² y SXY, es decir el sumatorio de los valores de cada variable, el sumatorio de los cuadrados y el sumatorio del producto cruzado.

En la tabla siguiente se han obtenido estos cinco sumatorios:

Aplicando la expresión del coeficiente de correlación lineal de Pearson:

Con estos datos se obtiene que r_xy=0.1225, valor que coincide con el obtenido mediante la utilización de la aplicación de Internet ya vista para el cálculo del coeficiente de correlación de Pearson.

Si se quiere contrastar la hipótesis nula H_o: r=0 , se deberá estudiar la significación del valor r obtenido.

Para estudiar su significación se debe transformar, en primer lugar, el valor de la correlación en un valor t y, en segundo lugar, comparar dicho valor con el valor de las tablas de la t de Student, con n-2 grados de libertad.

El valor proporcionado por las tablas es t(4,0.05)=2.776.

Así, puesto que el valor obtenido es inferior al de las tablas concluimos que los datos no aportan información para rechazar la hipótesis nula H_o en función de la cual las dos variables están incorrelacionadas en la población origen de la muestra.

2.2.1.- Importancia estadística e importancia práctica. Dependencia del tamaño muestral

El valor del coeficiente de correlación de Pearson nos permite estudiar la importancia estadística de la relación entre dos variables por medio del análisis de la significación de la asociación hallada. Sin embargo, la significación estadística de una relación está fuertemente determinada por el tamaño muestral utilizado, de manera que a medida que aumenta el tamaño de muestra es más fácil encontrar una relación significativa ya que disminuye el valor criterio de referencia. La siguiente tabla proporciona los valores criterio a utilizar para decidir la significación estadística bilateral de una correlación de Pearson, en función de distintos tamaños muestrales para un riesgo alfa del 5%:

Asimismo, la tabla presenta los valores de los coeficientes de correlación al cuadrado, es decir el coeficiente de determinación escrito en términos unitarios y en términos de porcentaje.

Este ultimo valor es muy importante, ya que la interpretación de la correlación entre dos variables se realiza por medio del coeficiente de determinación como la variancia común de ambas variables.

A partir de la tabla podemos ver que con un tamaño de 30 observaciones si se observa una correlación un poco superior a 0.34 diremos que existe una relación estadísticamente significativa entre las dos variables. Sin embargo, a efectos prácticos esto significa un porcentaje de variancia explicada de una de ellas por parte de la otra de valor relativamente bajo, ya que tan solo tiene en común algo más del 11,5%.

Es muy importante fijarse en los valores de la tabla ya que por ejemplo, con n=500 observaciones, bastará que las dos variables tengan un 1% en común para que exista relación estadísticamente significativa aunque es probable que desde un punto de vista práctico este porcentaje sea poco relevante ya que implica tener un 99% de variabilidad no compartida.

2.3.- Otras pruebas de hipótesis para coeficientes de correlación

Además de la prueba de hipótesis presentada en el apartado 2.2, se pueden realizar, entre otras, las siguientes pruebas de hipótesis:

Prueba 2:

H_o: r = r_o
H₁: r ¹ r_o

Para comprobar si el coeficiente de correlación entre dos variables es igual a un determinado valor teórico r_o, se calcula en primer lugar el valor del coeficiente r.

A continuación se realiza la siguiente transformación (Util cuando el valor teórico se mueve entre 0 y 0.5, pero no para valores superiores a 0.5):

Se puede comprobar que esta nueva variable Y se distribuye normalmente con media igual a r_o y variancia igual a 1/(n-3).

Así pues, el índice:

sigue una distribución normal centrada y reducida, N(0,1) . Por tanto: Si Z>Za aceptaremos la hipótesis alternativa y en caso contrario mantendremos la hipótesis nula.

Cuando n sea mayor que 25 podemos utilizar la transformación de Fisher, que viene dada por:

donde:

Cuando n esté comprendido entre 10 y 25 podemos utilizar la transformación de Hotelling, que viene dada por:

donde:

Existen tablas (por ejemplo en San Martín, 1987, p.374) que proporcionan el valor de z_r dado el valor de r.

2.4.- Aplicaciones en Internet relacionadas con pruebas de conformidad de un coeficiente de correlación

Cálculo del tamaño muestral requerido para que se cumplan unas determinadas garantías en una prueba de conformidad de un coeficiente de correlación. Se debe especificar el grado de significación y la potencia de la prueba. UCLA Statistics. Ejemplo:

Para encontrar una diferencia estadísticamente significativa entre el valor teórico r_o=0.4 bajo la hipótesis nula y el valor r=0.7 bajo la hipótesis alternativa, con un riesgo máximo de equivocarnos de 0.05 (Significance Level) y una potencia de 0.95 (Power), el tamaño de muestra mínimo que necesitamos si la prueba es bilateral (Two sided) es el siguiente (pulsar el botón «Submit Query»):

Si, en cambio, hubiéramos comparado el valor r =0.7 con el valor teórico r_o=0 (hipótesis de que el coeficiente de correlación es nulo, en referencia al primer tipo de prueba de hipótesis visto en el apartado 2.2), el tamaño de muestra mínimo para que se cumplan las mismas condiciones de potencia y nivel de significación en modo bilateral sería el siguiente:

Cálculo de la potencia en una prueba de conformidad para un coeficiente de correlación (se debe especificar el grado de significación y el tamaño muestral). UCLA Statistics. Ejemplo:

Esta aplicación mantiene la misma estructura que la anterior. Unicamente cambia el hecho de que en el último campo de la aplicación se debe introducir el valor del tamaño de muestra. Una vez es pulsado el botón «Submit Query» se obtendrá como resultado el valor de la potencia (Power), que informa sobre la probabilidad de que cuando aceptemos la hipótesis alternativa según la cual el valor r es distinto del valor teórico r_o (modo bilateral) sea ésta realmente cierta. Podemos comprobar que si queremos obtener la potencia de que r =0.7 sea distinto de r_o=0.4, con un nivel de significación de 0.05 en modo bilateral y N=69, dicho valor es el siguiente:

Como vemos, la probabilidad de que si aceptamos la hipótesis alternativa sea ésta realmente cierta es igual a 0.9499, es decir, una probabilidad aproximada del 95%, que nos permite llegar a la conclusión de que efectivamente debemos aceptar dicha hipótesis alternativa, debido a la alta potencia obtenida.

Prueba 3:

H_o: r₁ = r₂
H₁: r₁ ¹ r₂

Si tenemos dos muestras de tamaños n₁ y n₂ en las que se han obtenido los coeficientes de correlación r₁ y r₂ entre dos variables continuas, podemos estudiar la hipótesis de igualdad o diferencia entre los coeficientes de correlación poblacionales. Para ello se realiza la siguiente transformación:

para i=1,2.

A continuación se calcula el valor del índice Z:

Este índice sigue una distribución normal N(0,1) por lo que si Z>Za rechazaremos la hipótesis nula planteada.

Prueba 4:

H_o: r _xy = r _xz
H_1: r _xy ¹ r _xz

Si, sobre una muestra de sujetos, se tienen sus puntuaciones en tres variables X, Y, Z. Se puede estudiar la hipótesis de que la correlación entre las variables XY es igual a la correlación entre las variables XZ, es decir que la variable X correlaciona igualmente con la variable Y que con la variable Z.

El índice que permite estudiar dicha hipótesis viene dado por:

El índice T se distribuye según una t de Student con n-3 grados de libertad.

Así pues, si T > t(n-3,a) aceptaremos la hipótesis alternativa según la cual la relación de la variable X es distinta según se correlacione con Y o con Z.

Ejemplo

Se han recogido las respuestas de 12 varones y 16 mujeres en tres variables X, Y y Z. Los datos ficticios del ejemplo se muestran en la siguiente tabla:

A continuación se proporcionan las correlaciones observadas entre estas tres variables, tanto para el conjunto de la muestra, así como para cada sexo.

Correlaciones observadas para el conjunto de la muestra compuesta por 28 sujetos:

Correlaciones observadas en el conjunto de los varones:

Correlaciones observadas en el conjunto de las mujeres:

Cuestiones:

C1. ¿Existe, en los varones, una relación entre las puntuaciones dadas a X con las dadas a Y?

C2. La relación existente entre las variables X e Y, ¿Depende del sexo?

C3. Podríamos decir que, en las mujeres, la relación lineal entre Y y Z sigue el modelo teórico según el cual ésta vale 0.7?

C4. En el conjunto de la población, ¿Podemos concluir que la variable X presenta idéntica relación con las variables Z e Y?

Respuestas:

R1. En los varones se da que r_XY=r=0.7168

t = r[(n-2)/(1-r²)]^1/2 = (0.7168)[(12-2)/(1-0.5138)]^1/2 = 3.25

En tablas: t(10,0.05)=2.228

Así pues, en los varones se da una relación significativa entre las variables X e Y.

R2. En las mujeres se obtiene que r_XY=0.5714

Y_V = (1/2) Ln[(1+r_V)/(1-r_V)] = Ln(6.06215)/2 = 0.901

Y_M = (1/2) Ln[(1+r_M)/(1-r_M)] = Ln(3.66635)/2 = 0.6496

B=[1/(n₁-3)]+[1/(n₂-3)] = (1/9)+(1/13) = 0.188034

A continuación se calcula el valor del índice Z:

Z = (Y_V - Y_M)/Ö (B) = 0.579758

Así pues, nada se opone a seguir manteniendo la hipótesis de que la relación entre las variables X e Y es independiente del sexo, ya que los coeficientes de correlación poblacionales son iguales (hipótesis nula), puesto que el valor Z obtenido es inferior al valor Za =1.96 para un nivel de significación de 0.05 bilateral. De hecho, la probabilidad bilateral asociada al valor Z encontrado es aproximadamente de 0.562, superando de mucho el nivel de error máximo establecido para poder aceptar la hipótesis alternativa (nivel de significación).

Podemos llegar a la misma conclusión si utilizamos el siguiente applet de Internet ubicado en la dirección http://fonsg3.let.uva.nl:8001/Service/Statistics/Two_Correlations.html, el cual permite realizar la comparación de dos coeficientes de correlación de Pearson. Se deben introducir los dos coeficientes de correlación y el tamaño de las muestras. El applet analiza si ambos coeficientes son estadísticamente diferentes. Incluye una explicación del procedimiento utilizado en la comparación. Institute of Phonetic Sciences. Faculty of the Humanities. University of Amsterdam. Ejemplo:

Una vez introducidos los valores de los coeficientes R1 (varones) y R2 (mujeres) y los tamaños de muestra respectivos se debe pulsar el botón «Submit», acción que calculará directamente la probabilidad p(z³z_i) en modo bilateral (que informa sobre la probabilidad p de error que se cometería al aceptar la hipótesis alternativa de desigualdad entre los coeficientes de correlación poblacionales). Llegamos a la conclusión de que no podemos aceptar dicha hipótesis alternativa si asumimos un riesgo máximo del 0.05 bilateral (nivel de significación), ya que podríamos cometer un error del 56,2% (superior al 5% máximo asumido).

R3. La relación entre Y y Z, en las mujeres, vale 0.8723

Y = (1/2) Ln[(1+r)/(1-r)] = Ln(14.6617)/2 = 1.34262

Así pues, el índice:

Z = (n-3)^1/2(Y-r_o) = 2.317

Por lo tanto diríamos que la población de mujeres no sigue este modelo teórico.

Ahora bien, puesto que el valor teórico es superior a 0.5, y el tamaño de muestra es inferior a 25, es mejor utilizar la transformación de Hotelling:

Z_r = (1/2) Ln[(1+r)/(1-r)] = 1.34262

Z_o = (1/2) Ln[(1+r_o)/(1-r_o)] = 0.8673

Z'_r = Z_r - [(3Z_r + r)/4n] = 1.34262 - 0.0839 = 1.25872

Z'_o = Z_o - [(3Z_o + r_o)/4n] = 0.8673 - 0.0516 = 0.8157

Z'= (n-1)^1/2 (Z'_r - Z'_o) = 0.44302 = 1.716

La conclusión sería que los datos no contradicen el supuesto de que la población de mujeres sigue el modelo teórico.

R4. Las correlaciones entre las tres variables, en el conjunto de la población, vienen dadas por:

En tablas: t(25,0.05) = 2.06

Así pues, la relación entre las variables XZ no presenta diferencias significativas respecto a la relación entre las variables XY.

3.- Derivados del coeficiente de correlación de Pearson

3.1.- Correlación parcial

La correlación parcial permite obtener la correlación existente entre dos variables cuando se ha eliminado de cada una de ellas el efecto que una tercera variable tiene sobre ellas. Así pues, la correlación parcial mide la relación que hay entre dos variables cuando a cada una de ellas se le ha extraído aquella parte que tiene de común con una tercera variable. En este sentido, se trata de una correlación entre dos residuales.

A esta correlación se le denomina correlación parcial de primer orden, ya que se ajusta por una sola variable. Si se quiere ajustar por más variables, la expresión se traduce en incorporar términos de orden inferior. Por ejemplo, para una correlación parcial de segundo orden:

Correlaciones parciales de primer orden. A partir de 3 coeficientes de correlación, r(ab); r(bc); y r(ac), el applet obtiene las correlaciones parciales de primer orden: r(ac.b); r(bc.a); r(ab.c). Deben introducirse los valores de los tres coeficientes (r(ab), r(bc) y r(ac)). Richard Lowry. VassarStats. Ejemplo:

Utilizaremos las correlaciones entre las variables X, Y y Z del ejemplo visto en el apartado 2.3, correlaciones para el conjunto de la muestra (28 sujetos):

Cambiaremos la notación de las variables: X->A, Y->B y Z->C.

Cuando se accede a la aplicación, se deben introducir las correlaciones correspondientes y pulsar el botón «Calculate». De forma opcional, se puede añadir el tamaño de muestra para obtener los valores de t de las correlaciones parciales junto a los valores de probabilidad bilateral asociados, valores que darán cuenta de la significación estadística de dichas correlaciones parciales de primer orden. El resultado obtenido es el siguiente:

Como se puede observar, aparte de calcular las correlaciones parciales también aporta información sobre los coeficientes de determinación (r²), tanto de las correlaciones originales (r²: variancia de una variable explicada por la otra) como de las correlaciones parciales (r²: variancia de una variable explicada por la otra, cuando ha sido eliminada de ambas la influencia de una tercera variable).

Otro aspecto interesante es que desde la misma página del applet se puede acceder a una explicación teórica y práctica sobre la correlación parcial (http://faculty.vassar.edu/~lowry/ch3a.html).

3.2.- Correlación semiparcial

La correlación semiparcial permite obtener la correlación existente entre dos variables cuando se ha eliminado de una de ellas el efecto que una tercera variable tiene sobre ella.

3.3.- Correlación múltiple

La correlación múltiple permite obtener la relación existente entre una variable y un conjunto de variables (porcentaje de variabilidad o variancia de una variable explicado por un conjunto de variables).

El coeficiente de correlación múltiple puede obtenerse de manera aditiva, por medio de la siguiente secuencia de correlaciones:

Para el primer caso, la obtención de la correlación múltiple entre una variable (Y) y un conjunto formado por otras dos variables (X1 y X2) se interpreta como la variancia de Y explicada por la variable X1 mas la variancia de Y explicada por la variable X2 cuando ha sido eliminada de ésta la influencia de X1.

Es posible acceder a una aplicación en Internet que permite realizar el cálculo de correlaciones múltiples (ver apartado 4).

3.4.- Relación entre correlación parcial y correlación múltiple

A continuación se muestra cómo calcular una determinada correlación parcial (al cuadrado) a partir de los coeficientes de correlación múltiples de las variables implicadas.

3.5.- Relación entre correlación semiparcial y correlación múltiple

A continuación se muestra cómo calcular una determinada correlación semiparcial (al cuadrado) a partir de los coeficientes de correlación múltiples de las variables implicadas.

En la dirección http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Partial.html se accede a un pequeño documento en el que se tratan de forma teórica y práctica los conceptos de correlación parcial y semiparcial, así como la relación de ambas con la correlación múltiple.

3.6.- Correlación múltiple parcial

La correlación múltiple parcial permite obtener la relación existente entre una variable X1 y un conjunto de variables (X2, X3, X4...) cuando se ha eliminado de X1 el efecto que una o más variables del conjunto (X4, X5,...) tienen sobre ella respecto a la variancia de X1 no explicada por dichas variables cuyos efectos han sido eliminados.

3.7.- Correlación múltiple semiparcial

La correlación múltiple semiparcial permite obtener la relación existente entre una variable X1 y un conjunto de variables (X2, X3, X4...) cuando se ha eliminado de X1 el efecto que una o más variables del conjunto (X4, X5,...) tienen sobre ella respecto a la variancia total de X1.

4.- Aplicación en la red que integra la mayoría de cálculos relacionados con correlaciones de Pearson

Esta aplicación, accesible en la dirección http://home.clara.net/sisa/correl.htm, permite realizar el cálculo de la significación de un coeficiente de correlación respeto al valor teórico poblacional 0 (H₀: r = 0). Por otro lado, también estudia la significación de la diferencia entre dos correlaciones (H₀: r₁=r₂). Otro cálculos disponibles son los de la potencia de una correlación y el tamaño de muestra de una correlación. Por último, también permite calcular correlaciones parciales y correlaciones múltiples. De todos estos cálculos, algunos ya han sido ejemplificados utilizando otras aplicaciones concretas de Internet. Sin embargo, los datos de dichos casos volverán a ser utilizados con la aplicación que vamos a tratar en este apartado, con la finalidad de corroborar que efectivamente se obtienen los mismos resultados.

El aspecto de la aplicación que aparece cuando accedemos a la dirección anterior es el siguiente:

Todos los resultados se irán mostrando en modo texto en el marco derecho (zona blanca) del applet. Cuando el texto supere los límites de dicha zona aparecerá una barra de desplazamiento vertical para poder acceder a los resultados no visibles que se vayan generando. Esta región también está habilitada como área de edición, de forma que es posible añadir texto y modificar el que se vaya mostrando. El botón «Clear» borra todo el texto que se haya generado hasta el momento.

En función del tipo de resultado que queramos obtener se deberá pulsar el botón «Calculate» o el botón «Alt» una vez se hallan introducido los inputs correspondientes en las casillas oportunas, tal como se explicará para cada tipo de cálculo que se desee realizar de entre aquellos posibles indicados al principio de este apartado.

4.1.- Significación de un coeficiente de correlación

Se debe introducir en el primer campo de texto (r1) la correlación de la cual se desea estudiar su significación y el tamaño de la muestra en el tercer campo (N1). Ejemplo (basado en la correlación obtenida con los datos del ejemplo del apartado 2.2):